我们到底还是无法理解数学真正的基础、真正的含义是什么，数学与音乐一样，都属于人类创造性活动的产物，其成果受到历史发展的影响，因此我们很难客观对其进行合理化。

　　1949 年 9 月，我接受了赫尔曼·外尔的邀请去了普林斯顿的高等研究院。邀请信上外尔老师的签名给我留下了深刻的印象。第一次在研究院见到外尔老师时感到有些意外，他身材高大，长着一张圆脸，是一位体态文雅的绅士，给人的感觉像是一个性格和善的大叔。

　　我在去普林斯顿的路上顺便拐到芝加哥大学拜访了韦伊老师。韦伊老师从三楼窗户探出头来招呼我，他戴着魔鬼面具，吓了我一跳。即便如此，我并未对他感到些许意外。我对外尔老师的长相虽然有些意外，但并非那种因为与预想形象不同而感到的意外，而是一种莫名的意外感觉，说不太清楚。

　　对外尔老师而言，他们看到眼前这个身材瘦小、英语不流利的亚洲人时，也许也感到一丝意外。所以他才盯着我的脸打量一番，然后建议我“等下学期英语好点的时候再开专题研讨课”。

　　外尔老师几乎每天中午都跟我们这些年轻研究员一起在研究院四楼的食堂就餐，同时愉快地谈论各种话题。他会把洒在托盘上的咖啡重新倒入碗中喝掉。回想起来，这些事情仿佛是昨天刚刚发生的一样。

　　外尔老师生性率直，他不会将自己的想法藏在心里，有时候会说出一些辛辣的话语。有一天中午，我们在食堂吃午饭时，坐在我身边的一位年轻的美国数学家提到说：“今天是小平 40 岁生日。”于是，外尔老师突然转向我，并对我说：“据我所知，数学家想要做出一番成就一般要在 35 岁以前，你最好抓紧时间（youd better hurry）。”不管如何抓紧时间，我都无法再回到 35 岁，这对我来说太困难了。老师貌似也意识到自己说得有些过分了，就继续补充说：“不过也有例外，也许你就是例外。”这还算是比较收敛了，我还听说外尔老师曾经微笑着对一个意气风发的新人数学家说：“我不太看好你的数学研究。”这简直太吓人了。

　　外尔大概是 20 世纪最后一位重量级的大数学家了，他的研究领域不仅限于数学，还涉及物理学和哲学。在爱因斯坦发表广义相对论后，外尔随即编著了《空间、时间与物质》，尝试研究统一场论。量子力学出现后，他又撰写了《群论与量子力学》。他发表论文共167 篇，合计约 2800 页，出版著作多达 16 册，为后人留下了丰厚的硕果。

　　20 世纪 40 年代盛行研究巴拿赫空间、希尔伯特空间等函数解析，普林斯顿高等研究院的许多年轻研究员都以此作为自己的研究领域，外尔和西格尔仿佛在数学研究上完全与其他人独立。我曾经在研究院正面的院子里遇到日本数学家，至今还清楚地记得他说过：“外尔和西格尔两个人乐此不疲地在挑战古老复杂的数学，那是种反动行为。”进入 20 世纪 50 年代后，代数几何、流形论、微分拓扑等迅速发展，数学出现了天翻地覆的变化。

　　在我赴美前，外尔老师就一直很照顾我。斯通在其关于希尔伯特空间的著作的最后一章中提到雅可比矩阵（Jacobi matrices）理论，即二阶差分方程理论。将其改成二阶常微分方程，同时结合外尔在年轻时撰写的有关二阶常微分方程固有值问题的论文发现，可以得到具体公式给出固有值分布与固有函数的展开，于是我结果写成一篇论文发给了外尔老师。之后外尔老师回信告诉我蒂奇马什（Titchmarsh）使用其他方法得出了相同的公式，并且给我寄来了蒂奇马什的著作。后来我又收到外尔老师来信，大致的内容是：“我想在这次数学年会上演讲时引用你前几天的论文，我可以引用你未发表的论文吗？”即便是我这样的亚洲无名数学家，外尔老师也考虑得非常周到。在 1948 年 12 月美国数学学会的年会上，外尔老师发表了该演讲 。

　　到了下学期，按计划我在外尔和西格尔的指导下开始上有关调和微分形式的专题研讨课。刚开始几次课由外尔老师讲授历史沿革，因为当时我的英语还很糟糕，所以很遗憾，我不太记得上课的具体内容。外尔的部分结束后，由德拉姆（de Rham）讲授了七八节课基于当时现有方法的黎曼流形上调和微分形式理论，最后由我讲授调和微分形式在复流形中的应用。整个课程结束后，外尔老师对我说：“之前的调和微分形式专题研讨课上到一半就乱套了，幸亏这次专家阵容齐全，最终圆满完成任务。”

　　之前的专题研讨课指的是 1942 年左右开设的有关霍奇（Hodge）调和积分论的专题研讨，刚开始主要研读霍奇的著作，后来发现调和微分形式的存在证明存在一定的缺陷（gap），于是专题研讨课就因此暂停了。外尔老师还专门写了一篇论文去填补该缺陷。

　　外尔老师用了几周时间在研究院讲授数学的 50 年历史，即1900 年至 1950 年间数学的历史。我记得这部分课程大概是在1952 年的上半学期，当时希策布鲁赫也来旁听。后来我因为当时没记笔记而感到遗憾，不过印象比较深刻的内容包括关于整数论的详细分析、对奈望林纳（R.Nevanlinna）理论的高度评价、抽象的普遍化理论很无聊，等等。不过我也不记得在讲什么内容时提到抽象的普遍化理论很无聊，他曾提到：“你们肯定会想问，那你为什么要写《黎曼曲面的概念》这样的普遍化理论呢？当时在讲黎曼曲面时，我就想‘思考普遍化的黎曼曲面’，于是就做了这件事（双手侧平举后上下摆动）。尽管如此还是觉得很麻烦，因此就写了《黎曼曲面的概念》。”这样听来，感觉外尔老师将《黎曼曲面的概念》归类于无聊的抽象论，这令我感到十分震惊。众所周知，《黎曼曲面的概念》是现代复流形理论的原型，书中几乎完美地展现了一维复流形理论。

　　在单位圆周上平均分布”，外尔谈道：“在以前，类似这样的简单定理就是一个大发现，而现在的你们必须从事复杂的研究工作，太不容易了。”在这个课上我还听到了类似这样的故事：“阿廷说在巴赫之后就没有出现新的音乐了，于是我就问他数学是什么情况，结果他摆出了一副嫌弃的表情。”数学家阿廷（Emil Artin）精通音乐，会弹奏拨弦古钢琴，他的兴趣是研磨天体望远镜的镜片。

　　到了普林斯顿后，我又重新将调和微分形式的论文印成小册，并带着它去拜访了外尔老师。老师手拿着小册，笑眯眯地夸我说：“从运用正交射影的方法来看，确实做得不错。”又说：“也许我是一个守旧派，不过我觉得正交射影的方法不太好，我建议你重新修改论文，最好也不要采用正交射影的方法。”这番话使我备受打击。外尔老师在 1955 年出版的《黎曼曲面的概念》修改版的序中曾经写道：“我也曾考虑过从本质上将狄利克雷原理改成正交射影的方法，不过最终还是放弃了。我不打算解释个中缘由。”

　　正交射影是外尔发现的方法，对证明调和微分形式的存在极其有用。外尔老师说这个方法不太好，其原因在于他自身的数学哲学。对于数学基础研究，外尔老师支持直觉主义，虽说我也是支持直觉主义，不过这也只是针对数学基础研究，平时在做数学研究时，跟一般的数学家并无任何区别，而外尔的直觉主义可不是如此肤浅。康斯坦·里德在库朗传记中写道：“外尔站在直觉主义的立场上为新生讲授解析入门。”

　　正交射影的方法到底所指何物？对此进行说明前，首先需要证明紧黎曼空间R 上存在具有给定周期的第一种调和微分形式。假设将R 上勒贝格可测由整个具有有限范数的 r 次微分形式ϕ 构成的希尔伯特空间记作

　　的正交射影记作 Pϕ 。德拉姆定理表明，存在具有给定周期的连续可微的 r 次微分形式

　　 ，d

　　 = 0 。如果取正交射影

　　外尔老师深受哥德尔的不完全性定理“任何一个包含自然数论的形式系统，当该形式系统无矛盾时，它的无矛盾性不可能在该形式系统内证明”影响，他在其著作《数学与自然科学的哲学》英文版中提到：“我们到底还是无法理解数学真正的基础、真正的含义是什么，数学与音乐一样，都属于人类创造性活动的产物，其成果受到历史发展的影响，因此我们很难客观对其进行合理化。”此外，在有关数学与逻辑概述的论文的结语中，外尔写道：“（源于集合论悖论）的数学危机给我的数学研究带来了相当大的实际性影响，因此我将自己的兴趣转向了相对“安全”的研究领域。

　　从直觉主义来看，“存在”实数或函数意味着“能构成”该实数或函数。因此不存在任意不特定的勒贝格可测微分形式，构成其整体的希尔伯特空间

　　也是虚构的存在。外尔老师之所以认为正交射影的方法不太好，也许是因为正交射影的方法使用了虚构的

　　，而这并不属于“安全”领域的范畴之内。银河国际galaxy网站《黎曼曲面的概念》中基于狄利克雷原理的调和函数存在证明很好地组成分段光滑函数列

　　哥德尔在其论文“罗素的数理逻辑学”中指出，“集合（class）和概念（concept）是两个完全独立的实在，它与我们所说的定理或构成不同。假定类似的实在与物理学假定物体的存在一样合理。想要得到满意的物理，物体是必要条件。同样，想要得到满意的数学，实在也是必要条件”。而且，他还在“何谓康托尔的连续统假设”一文中提到：“我们对集合论的对象有着某种觉察力（perception），我认为这种感觉即数学直觉比五官的感觉更值得信任。”

　　总而言之，哥德尔认为数学的对象是与我们独立的实在，即实在论。而且，我们具有感知这种数学实在的能力。这与外尔的想法刚好相反，因为外尔认为数学是人类创造性活动的产物。哥德尔的想法表明，集合论是实际存在的，因此连续统的浓度ℵ 也是固定的。竹内外史与哥德尔交往颇深，据竹内所说，哥德尔“认为连续统的浓度ℵ 等于ℵ⊃2;。因为如果ℵ=ℵ⊃2;，将会呈现出一个极其美丽的世界”。

　　我个人非常喜欢外尔的数学研究风格。我读过他的论文和著作，深有共鸣，唯有直觉主义让我难以理解。因为我实在无法赞同希尔伯特空间不“安全”的说法。我是一名缺乏哲学素养的数学家，因此也没有资格评论外尔和哥德尔的数学哲学。我只是从自己多年从事数学研究的经验中得到一些体会，既然自然界实际存在，那么数学现象的世界应该也实际存在。虽然我也发现了一些定理，但是那并不是我的发明，而是我在探索数学现象世界的途中，偶然发现了这些散落在角落的定理。

　　让你爱上物理的有趣的话题：跷跷板的原理是什么？为什么“大漠孤烟直”不总是对的？为什么太阳会变成弯弯的？时间是什么？为什么杯口的水是弧形的？为什么瓶底的番茄酱不好倒？为什么空调必须安装在高处？为什么说宇宙是“一锅热汤”？

　　理论物理学博士、百万粉丝（@弦论世界）科普达人周思益的物理启蒙书，带你发现隐藏在生活中的物理之美。

　　李 淼 王 一 袁岚峰 严伯钧 李永乐 朱一明 妈咪说MommyTalk 联袂推荐

　　令人目眩的人生经历、率真的态度、永不枯竭的热情，他是科学家们的偶像；……

　　这就是费曼——好奇的大男孩、多情的爱人、诺贝尔奖得主、制造者、“挑战者号”事故调查委员、邦戈鼓手、开锁大师……他为20世纪的物理学开辟了一条非凡的道路。从顶级科学家到满怀好奇的大众，在他参与的每一件事和接触过的每一个人身上，费曼都留下了非凡的印记。

　　诺贝尔物理学奖得主、知名物理学家朝永振一郎科普作品，日本物理学启蒙名作。

　　本书为著名日本著名物理学家、诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎先生的物理启蒙科普作品，书中以思索“物理是什么”为线索，以宏阔视野、精深笔触，通俗讲述了从早期哲学思辨到炼金术、占星术，再到近代科学的物理体系的发展，并重点讲解了物理发展过程中的核心原理。

　　欣赏包罗万象的艺术珍宝，见证科学发展史中一座座里程碑，领略科学的美感和力量。讲述人类如何通过视觉艺术展现自己的思维火花，再现自然的壮美，见证科学发展史中一座座里程，再现人类思想的高光时刻。

　　本汇集了200余幅科学史上的图片，这些图片代表着科学发展史中一个又一个里程碑。从简单的图表到第一张世界地图，从手绘图、照片到计算机成像，本书回顾了天文学、数学、物理学、化学、生物学等领域的历史转折点，以图片讲解知识，展现人类科学思想发展史中的高光时刻。

　　数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。

　　以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。

　　科学，人类引以为傲的智慧结晶。而改变时代、推动历史进程的大科学家们，如同智慧之光，照亮万古长夜。

　　而数学家高斯说：“数学是科学的女王。”物理学家爱因斯坦说：“数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。”

　　数学是宇宙的语言，从厨房的水龙头到使电视机正常播放的家庭卫生，甚至在路边买菜，数学无处不在。今天，信息技术已经被广泛应用到生活每一个角落，而这些成果的幕后英雄，正是数学！

　　因此，伟大的数学家，被载入史册，永远被后人铭记。今天推荐的20本数学家相关著作，不仅仅展现他们在伟大时刻的思考，也同时贯彻着他们一生的思维方式，这将成为所有人的宝藏。学好数学的前提，是学会数学的思维。

　　方程是一首首数学的诗，言简意赅，却充满意义。阐释自然与社会现象，连接数学与物理现实，是方程的力量与美之所在。

　　无需动用纸笔，纵览数学世界不可不谈的伟大定理、难题和争论；好奇心大满足，纵览数学的核心知识和历史八卦。

　　本书是一部短文集，文章以各自英文标题的首字母按照A到Z的顺序排列，每一篇短文都讲述了一个特定的数学主题，介绍了数学世界不可不谈的伟大定理、难题、争论和不解之谜。

　　从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。

　　这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。

　　本书以数学史上四大著名的“古典问题”——化圆为方、倍立方、作正多边形、三等分角为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。

　　法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目，在机器学习、人工智能、逻辑学和哲学等众多领域中，探索贝叶斯定理蕴藏的智慧与哲理。

　　贝叶斯定理一旦与算法相结合，就不再是一套枯燥的数学理论或认识论，而变成了应用广泛的知识宝库，催生了众多现代数学定理，以及令人称道的实践成果。

　　这是一部恢宏的数学史和人类思想史，一本阐明代数基本知识的“数学入门书”，一册数学家的趣味故事集。

　　畅销世界的数学哲学史经典著作，科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷。

　　本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，讲述了数学、哲学和物理学巨匠们的生活经历与思想。

　　牛津大学数学教授，英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作，带你一同探索黎曼假设，讲述数学家求知路上的苦与乐。

　　黎曼假设，即素数的未解谜题，被视为数学研究的“珠峰”，吸引了一代代数学家投身于数论研究中，其中不乏数学史上大名鼎鼎的人物。而破解这一谜题过程中的发现，已经给电子商务、量子力学和计算机科学等领域带来了举足轻重的影响。

　　作者以解决“奇点解消问题”的故事为线索，讲述了自己如何学习数学、走上数学研究道路的历程，分享了在挑战数学难题过程中的思考方法与感悟，并就“数学与创造”“创造与情绪”“分析与大局观”等线

　　本书从“情绪与心智”的角度，论述了认知发展、义务教育中的深层问题，同时阐述了对人性的细微考察与独到理解，是一本影响了日本几代人的经典名作。

　　畅销世界的当代数学家传记，知名数学家塞德里克·维拉尼荣膺菲尔茨奖的精彩历程，真切感受数学研究生涯的艰辛与乐趣，了解数学家的日常工作与思维方式。

　　文津奖获得者、科普作家、百万级畅销书作者詹姆斯·格雷克所著传记，故事、历史与科学的结合，展现牛顿辉煌的科学成就，剖析其鲜为人知的内心世界。

　　在这本传记中，格雷克借助牛顿的重要信件和未出版的笔记，记述了这位科学界最伟大人物之一的生活经历、与他有关联的人物，以及对他产生影响的重要事件，并勾勒出他所处的历史时期的全貌。

　　小平邦彦“抄书学数学”的传闻是真的吗？宽松的教育，是否会影响思考能力，又该如何改善？日本的现代数学研究是如何传承和发展的？

　　菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主日本数学大家——小平邦彦， 亲笔自传

　　英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代的经典名篇，被称为是“用优雅的语言对数学真谛进行了完美的揭示”。

　　本书是哈代于1940年写成的心得之作，展现了数学之美、数学的持久性和数学的重要性三大主题。

　　1940年，哈代出版了《一个数学家的辩白》，这是一位领先的纯数学家对数学的沉思。82年后，《一个应用数学家的辩白》是一位具有哲学倾向的数值分析师的沉思，也是他的个人回忆录。作者在数值分析的工作中找到了极大的乐趣，但对它与其他数学领域的关系感到困惑。本书更准确的书名应该是《一个数值分析师的自白》，它包含更多的传记材料和更多的数学内容，尤其是在后半部分。但两本书的目的是相同的，都是从作者自己的角度对数学进行严肃的沉思。

　　中国文津图书奖得主、美国国家图书奖得主詹姆斯•格雷克新作《费曼传：天才的人生与思想世界》，有趣的灵魂，天才的魔术师，科学家们的偶像，盛名之下理查德·费曼的真实人生。

　　这就是费曼——好奇的大男孩、多情的爱人、诺贝尔奖得主、制造者、“挑战者号”事故调查委员、邦戈鼓手、开锁大师……他为20世纪的物理学开辟了一条非凡的道路。从顶级科学家到满怀好奇的大众，在他参与的每一件事和接触过的每一个人身上，费曼都留下了非凡的印记。

　　本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。

　　本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。

　　1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！

　　2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。

　　4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。